272 XI[t. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Zadanie 13.4. Zbadać przebieg zmienności funkcji y= — .
In x
Rozwiązanie. Funkcja jest określona dla x>0 i x#l. Obliczmy pochodną
^ ln x ( ln a:)
Pochodna równa się zeru, gdy lnx=l, czyli gdy x = e; wtedy f(e) = e. Obliczmy drugą pochodną
y
tt
2 —lnx x(Inx)3
Druga pochodna równa się zeru, gdy lnx=2, czyli gdy x = e2; wtedy /(e2) = ^e2 Obliczmy granice
lim y = 0
x- + 0
(gdyż licznik dąży do zera, a mianownik do - oo) oraz
lim / = lim (-
x-» + o x— + o\lnx
a więc krzywa przy x-» +0 zbliża się stycznie do osi Ox. Gdy x-+l +0, to In x-++0, czyli y-* + oo, gdy zaś x-»l -0, to ln x-*-0, czyli y-+ — oo, a więc prosta x=l jest asymptotą pionową krzywej w obu swoich zwrotach.
Krzywa ma minimum w punkcie x = e i punkt przegięcia, gdy x = e2.
Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:
X |
0 |
1 |
e |
e2 |
... |
— CO | ||||
y" |
— 00 |
- |
— 30 |
+ oo |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
0 |
y' |
0 |
— |
— CO |
— 00 |
- |
0 |
-+• |
— |
4- |
0 |
y |
0 |
— co |
— 00 |
\ |
e |
/• |
1 |
/ |
+ eo |
Wykres funkcji podaje rysunek 13.4.
Zadanie 13.5. Zbadać przebieg zmienności funkcji y = (x2 — 3) ex.
Rozwiązanie. Funkcja jest określona dla wszystkich x.
Obliczmy pochodną
/ = (x2+2x —3)ex.
Pochodna równa się zeru, gdy x=—3 i gdy x=l; wtedy /(-3) = 6e“3, /0)="qr '
Obliczamy drugą pochodną
y"=(x2+4x-l)ex.
Miejscami zerowymi drugiej pochodnej są liczby a= —2 — y/Ś i 0=-2 + ^/5.
Obliczmy granicę
lim (x2- 3)ex= + oo.
x~* + oo
Natomiast aby obliczyć lim f(x), podstawiamy x=—u; wówczas otrzymujemy (patrz
X~* — oo
wzór (12.2.5)):
2_3
lim f(x)= lim (u2-3)e_"= lim ■~=0.
JC-*-00 U-* + CO u-* + CO £
Krzywa ma jednostronną asymptotę poziomą y = 0, maksimum w punkcie x= — 3, minimum w punkcie a: = 1, punkty przegięcia, gdy x= —2 — ^/5 i gdy x—— 2 + v/5. Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:
X |
— 00 |
ct |
-3 |
P |
1 | ||||||
y" |
0 |
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
4-oo |
y' |
0 |
4- |
■+ |
+ |
0 |
— |
- |
- |
0 |
+ |
+ oo |
y |
0 |
/ |
/(*) |
6e-3 |
\ |
/(/?) |
\ |
—2e |
/ |
+ oo |
Wykres funkcji podaje rysunek 13.5.