0358

360

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Załóżmy, że obszar % ma punkt skupienia <o skończony lub nieskończony. Dla danego szeregu liczbowego (A) tworzymy szereg

CO

(22)    A₀ <p₀(x) + A, ?>,(*) + ... +A. (p.(x) + ... = Y A, <p,(x),

a-0

złożony z funkcji, gdzie A„ — a₀+a_l + ... +a». Jeżeli ten szereg jest zbieżny, chociażby tylko dla x dostatecznie bliskich to, a jego suma dąży do granicy A, gdy x -*■ <o, to liczbę A przyjmujemy jako sumę uogólnioną danego szeregu (A).

Otrzymujemy w ten sposób metodę sumowania szeregów związaną z wyborem ciągu (4>) i punktu granicznego co, Z samej konstrukcji metody widoczna jest jej liniowość. Załóżmy teraz, że funkcje <p,(x) spełniają następujące trzy żądania.

(a)    dla dowolnego ustalonego n

lim ę>„(jr) = 0 ;

X-1U

(b)    dla wartoici x dostatecznie bliskich «o (')

00

X! \<pa(x)\ < K (K = const) ;

H-0

(c) wreszcie

lim Y = 1 .

*-«> a-O

Wówczas metoda sumowania jest regularna.

Dowód. Niech zatem

lim A. = A

H-* 5©

Wówczas dla przyjętej liczby c>0 znajdzie się takie n\ że dla n>n' zachodzi nierówność

(23)    \A,-A\<-^..

00

Wobec ograniczoności A_m i bezwzględnej zbieżności szeregu £ ?„(*), będzie także zbieżny — przynaj-

•»o

00

mniej dla |.v- to| <ó' (x>A') — szereg Y A, <p.(x). Jest ponadto oczywiście

n-0

Aa <Pa(x) - A = Y (A.-A)<p_n(x)+ Y (A.-A) tp,(x)+A [J] <p,{x)~ l] ,

*«0    «~o    II-O

a więc po przejściu do wartości bezwzględnych mamy

|f] a. <p,{x)-A\ < \Y {A.-A)tp,(x)|+ Y    ly.WI + MI IŻ    .

gsO    ■—0    *»■'+!    H-0

Drugi składnik po prawej stronie jest mniejszy od y e na mocy nierówności (23) i warunku (b). Co do pierwszego i trzeciego składnika, to każdy z nich można uczynić mniejszym od y e biorąc x dostatecznie bliskie tu na mocy warunków (a) i (c). Wobec tego

lim V A, tpa{x) = A ,

.-o

tzn. suma uogólniona istnieje i jest równa sumie zwykłej.

(') To znaczy dla |.x— a>|<ó', jeżeli to jest skończone, lub dla x>A', jeżeli co = +oo.