28 (471)

±58________________ODPOWIEDZI. WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANIA

29. Tworzą ciąg aiylmcłyczny. 30. a).r=l; b)r/,=5«-8.

31. a)* = 2. >= l: b) co najmniej I01 wyrazów.

Rozwiązanie, a) Jeśli liczby <i. b. : są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, ton t-c=2b. Liczby x+y. 4\-y, 3.t + 4y + l są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc .t+y + 3r+4y+1 = 2(4.v-y). Stąd O 4.v-7v • 1.

Liczby 4.v-y, 3.r+4y+ 1. 9x -4y+ I są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc 4*-y + ftx-4y+ I = 2(3.r+4y+1).

Stąd © 7\ I3v = I. Rozwiązaniem układu równań © i © jest para liczb v = 2. y= I.

b) Jeśli a - 2 i y = 1.1«> pierwszy wyraz ciągu jest równy 3. a drugi równy jest 7. Zatem ró/nicą tego ciągu jest liczba r = 7-3 = 4. .Suma n

początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem

Sprawdzamy, jakie liczby całkowite

«. 2a,+(n-l>r 2-3*(«-l) 4 „ ₂

=----» =----/; — 2u + n. 5

dodatnie n spełniają nierówność 2n' f n > 2011X1. Nierówność 2>r -t-w - 20100 >0 spełniają liczby n e (—»; -100,5) u (100; ■»>). więc liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi tę nierówność są 101. 102. 103.....Zatem należy wziąć co najmniej 101 wyrazów ciągu.

33. 14 i 28.

32. o).r, = 23. r=-4. rr,=-4n +27; b);r = 24; c)-15 150.

•I*

34. r;, = 4«-

Rozwiązanie. I SPOSÓB Równość tu + «„ , i = 5n - 1 zachodzi dla każdej liczby całkowitej dodatniej n. więc w szczególności jest prawdziwa dla n- 1 i /i = 2. Jeśli /i- 1.1«> mamy ir,+u_: = 5l - 1 =4. ti_:=a, + r. więc 2<i, + r = 4. Jeśli n = 2. to mamy łi_:+«i = 5-2 1=9. o- ttf • 2r. więc

12a. + r b 4

2<i|-t3r=9. Otrzymaliśmy układ równań ; . którego rozwiązaniem jest para liczb r=2.5 i <ti=0,75.

12o, + 3/' = 9

Zatem <>x=a\ +(/i- I )r = 0.75+(«- I )-2.5 = 2,5/i -1.75.

II SPOSÓB. Ciąg (ą,) jest arytmetyczny, więc <»„=</, +(n 11/-. a_n., =</.. +nr. <r_n t, j = «/, +p, | >, + _(l, . ,_rr = 2m +2a,-r. Dla każdej liczb) całkowitej dodatniej n zachodzą równości a.. fo,. i 2rn + 2n\-r i «., + «„., = 5n - I. zatem Lr 5 i 2a₍ - r ~ -I. Stąd r=2.5 i <i| = 0,75. Znając r.-,i r. możemy podać wzór ciągu («,): «„=2.5/?- 1.75.

35. Od «n do

Rozwiązanie. Ozu. tu. n_t, _......

Różnica ci.\gu («_A.) jest równa 2.

^ai ^{+ (,}l -tO

Oi +«1 . I + ... +Uł . 1= —■———

sumowane wyrazy.

Liczby ot. tii.......Hi... tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. zatem

tii + iii + 9-2

-10 = —-*--10= (a,+9) 10=310.

Stąd n, = 22. tii=2k-6=22, więc k= 14. Zsumowano wyrazy .....a>\

36. 165.

37. Z piętnastu.

Rozwiązanie. Ciąg («„) ma nieparzystą liczbę wyrazów, więc liczba wyrazów o nieparzystych numerach jest o I większa od liczby wyrazów o numerach parzystych. Jeśli i: oznacza liczbę wyrazów o numerach parzystych, to wtedy k + I jest liczbą wyrazów o numerach nieparzystych, a 21 + I liczbą wszystkich wyrazów ciągu (r/„).

Wiemy, że © ——i2k + ll -165. Wyrazy o nieparzystych numerach tworzą ciąg arytmetyczny, którego pierwszym wyrazem jest u|,

IV) podstawieniu do równości © otrzymujemy równanie —— (k-i-U SS. Stąd Wyznaczamy k-1. Ciąg (ti,J składa się z 2*+ I wyrazów czyli z piętnastu wyrazów.

38. 7. piętnastu wyrazów (wzięto pięć wyrazów).

39. a) 27 cm. b) 5 m 45 cm. c) 44 stopnic

Rozwiązanie. Wy sokości stopni tworzą skończony ciąg arytmetyczny (rr.,) o różnicy z = -0,5. w którym </, = 32.

a) Obliczamy wysokość jedenastego stopnia: <zn =<•;,> 10r = 32+ l(l(-0,5> = 27 icmj.

b) Wysokość w . na której znajduje się powierzchnia dwudziestego stopnia jest równa sumie wysokości dwudziestu początkowych schodów.

Zatem ił'=S:n = •

2«_|-+<20-t> r ^ 2 32n2tl-l) (-0,5)

• 2<l = 545 (cm), c) n - liczba schodów. Suma wysokości wszystkich schodów wynosi

935 cm. ■y. = -:^ł-^H,,J⁾ -935. Otrzymane równanie sprowadzamy do postaci n^: - 129n + 3740 = t). Rozwiązaniami tego równania są

liczby m=44 i /o = 85. Jeśli n=$5. to 32+(85 l) (-(l.5)<0. zatem schody mają44 stopni.

40. a) 210 zl; b) 990 zl; c) 11 m. 41. Po 2 latach i 7 miesiącach.

43. I5 rat. 140 zl.

42. a) Siedemdziesiąt; b) ł kl 1217 do 1310; c) w trzynastym.