29 (445)

159

ODPOWIEDZI. WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANIA

44.    207 m.

45.    a) Pierwsza tata: 1400 zl, druga rata: 1387.50 /I:    b) 1262,50 zl:    c)975/ł;    d)ó,5

Rozwiązanie. Oprocentowanie kredytu wynosi 12*35. więc wysokość odsetek naliczanych w danym miesiącu jest równa 1% kwoty pu/ostającej tle spłacenia.

a)    Wysokość pierwszej raty: ± 15000+-^- 15000 = 1250+150=1400 (zl).

Wysokość drugiej raty: Jj 15000+-^ (15000 -1250) = 1387.50 (zl).

b)    Po jedenastu miesiącach pozostało do spłacenia -Jj--15000= I25n ł/łt. wysokość ostatniej taty jest rów na: 1250 + ^-1250 = 1262.5 (zł).

c)    Co miesiąc kwota pozostająca do spłacenia zmniejszała się o yL 15000 = 1250 (zł >. Zatem kwoty pozostające do spłacenia w kolejnych

miesiącach tworzyły ciąg arytmetyczny, którego pierwszy wyraz jest równy 15000, a różnica -1250. Łączną kwota odsetek była więc równa j_ l.'(XKi+_n_-!_>•( 1-5'».\2 =075 (zł).    d) Łączną kwota odsetek stanowiła ^ • 100% = 6.5% pożyczonej kwoty.

46.    .i = - .

Rozwiązanie. Liczby a. I). o tworzą ciąg arytmetyczny, więc u - c~2 h. Wiemy, że u •.' + /> = 24. Zatem 2/» +6 = 24. stall h S. Liczba-0.2 jest pierwiastkiem trój mianu y=m²+8a + c. więc -£r«-j + c = 0. Rozwiązaniem układu równań <r + 25c = 40 i « + c= 16 jest pani liczb a- 15

i i = l. Iloczyn pierwiastków trójmianii jest równa ~ = --¹- = -4 \,. stądx_:= -

47.    m=0,5.

48.    -I.

Rozwiązanie, Funkcja# dla każdej wątłości parametru m ma dwa miejsca zerowe (A=4+m¹ > 0 Jhi każdej liczby mc- R).

«i i u.- są miejscami zerowymi funkcji #. więc u, + «_; = <ii + o, + r = -2 (skorzystaliśmy ze wzoru Vieie'<i nu sumę pierwiastków trója:tana kwadratowego). Suma jedenastu początkowych wyrazów ciągu (<i j jest równa *'¹ *    • 11 = 8S.

Rozwiązaniem układu równań 2tt\ + r 2 i <t_t + 5r=8 jest pata liczb a_t =-2 i r=2.

Liczba «i jest miejscem zerowym funkcji g, więc g(-2)=4-4 -nr =0. Stąd /n=0. Najmniejsza wartość funkcji g: >•„ =    ₌ -|.

49.    Funkcja ,ę jest malejąca w przedziale i-f<; 5> i rosnąca w przedziale <5: !<•»).

50.    rt*=4Q. A-,=420.

Rozwiązanie. Założenia: a -4>l) i a>0 i a¹ >1). wszystkie założenia spełniają liczby u >4.

Liczby .v. y. z tworzą ciąg itrytmctyczny, więc * 2y - a + z. 2v = 2log; 2o = 2(log; 2 -ł log .-01 = 2 + log; n^:. zaś t +    ;    = log    _; (n - 4) +    log    • <r.

Zatem równość ¥ możemy zapisać w postaci 2- log.(a -4). Stąd a -4 = 2', więc r/=8 Ui = 8 spełnia warunek o >4).

Pierwszy wyraz ciągu jest równy log; (8-4) = 2. drugi wyraz ciągu równy jest log; 2-8 = 4. więc różnicą ciągu jest liczba 2.

Dwudziesty wyraz ciągu: 2 +(20- !)-2 = 40. Suma dwudziestu początkowych wyrazów ciągu: ~*ę^łn • 20 = 420.

51.    Mniejsza o 600.

52.    re (-1; 3).

Rozwiązanie. Ciąg jest arytmetyczny, więc 5\+2v+l    11 +y) ■ i’ + 5t+4.\ (2.v+2v+li. Stąd y = -»*’ +2.

Różnica ciągu r- 3.t+2y + I -(*+>•) = 2t+y + I =-.r'+2rt 3. Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0.

Rozwiązaniami nierówności -.r+2v+3>0 są liczby .vet-l;3>.

53. a) a,=7;    b) 10 700.

Ro2v/ląznnie. a) .V} o,+uj + r/i i-o₄+z/,. S_i=a, • n>+a, \ ii_t, więcuj = S>-S₄ = 25- 10 - (16— 8) = 7.

b) a, S|=-l. Oi = Si -V|=0 (-11= I. Obliczamy różnicę eii(gu («„): /• —    — rr_; — 2. Liczby ii\,o......o,.,, tworzą    ciąg arytmetyczny,

różnica tego ciągu jest równa 2r. czyli 4. Zatem suma wyrazów tego ciągu jest równa ——^{11 ł}. | ixi = 10700.

54.

Rozwiązanie, a) S„ <J| +«>+•... +</„_ i +«,. a, =S\ =—12. a dla każdej liczby naturalnej nS2 zachodzi równość - S,-S„-1.

i = 2(/i - 11‘- 14(n I > = Zn¹ - I8«+ In, więc dla każdej liczby naturalnej n>2 a., = 2n^: I4rr - (2>i*'- 18/I+ 16) = 4;j . 16.

Wiemy, że ri|=-l2, sprawdzamy, czy wzór <i,. = 4n- 16 jest prawdziwy dla n ■- 1:41    16 =-12. Zatem ciąg (</.) dla każdej liczby całkowitej

ni 1 określony jest wzorem a.=4 n- 16. Badamy, czy ciąg («,) jest arytmetyczny: dla każdej liczby całkowitej n>. I różnica a,, i-a. = 4(n + I) - 16 - (4rr 16) = 4. więc t«„) jest ciągiem an trnctycznym o różnicy 4.